Урок 11. Математические пакеты расширения
Урок 11. Математические пакеты расширения Математические пакеты расширения Общие замечания по пакетам расширения Пакет алгебраических функций Algebra Решение неравенств Функции для представления к... Математические пакеты расширения
Математические пакеты расширения Пакет алгебраических функций Algebra Пакет вычислительных функций Calculus Пакет дискретной математики DiscreteMath Геометрические расчеты — пакет Geometry Линейна... Общие замечания по пакетам расширения
Общие замечания по пакетам расширения Пакеты расширения системы Mathematica (Add-ons) являются наборами файлов с расширением .т, написанными на языке программирования системы и объединенными под и...
Пакет алгебраических функций Algebra
Пакет алгебраических функций Algebra... Решение неравенств
Решение неравенств Пакет расширения Algebra содержит ряд новых функций для работы с неравенствами, ограниченными полями и полиномами. Для доступа сразу ко всем функциям пакета используется команда... Функции для представления комплексных данных — Relm
Функции для представления комплексных данных — Relm Подпакет Relm обеспечивает переназначение функций комплексной переменно!! для более корректной их работы: Algebra`ReIm` Re[l/x+l/y] Re[x]/(Im[x]... Операции в конечных полях — FiniteFields
Операции в конечных полях — FiniteFields Поле является алгебраическим понятием, которое может быть определено как множество, имеющее не менее двух элементов, над которыми заданы две бинарные ассоц... Оценка интервалов изоляции корней полиномов — Rootlsolation
Оценка интервалов изоляции корней полиномов — Rootlsolation Следующие функции подпакета Rootlsotation позволяют оценивать интервалы изоляции для действительных и комплексных корней полиномов: Coun... Операции с полиномами
Операции с полиномами Если конечные поля — понятие достаточно экзотическое, то полиномы встреча- ются сплошь и рядом во многих математических и научно-технических расчетах. В пакете расширения Alg... Преобразование полиномов в схему Горнера — Horner
Преобразование полиномов в схему Горнера — Horner Подпакет Horner в системе Mathematica 4 реализует хорошо известную схему вычисления полиномов — схему Горнера. При ней операции возведения в степе... Пакет вычислительных функций Calculus
Пакет вычислительных функций Calculus Пакет расширения Calculus содержит представительный набор функций для решения дифференциальных уравнений, задания функций единичного скачка и импульса, выполн... Решение дифференциальных уравнений — DSolvelntegrals
Решение дифференциальных уравнений — DSolvelntegrals Многие нелинейные дифференциальные уравнения не имеют общего решения. В под-пакете DSolvelntegrals определены функции, позволяющие найти решени... Дельта-функция Дирака — DiracDelta
Дельта-функция Дирака — DiracDelta В подпакете DiracDelta системы Mathematica 3 задано определение двух полезных функций Дирака: UnitStep [х] — возвращает функцию с единичным скачком при х = 0 (да... Пример 11.1. Робота с функцией единичного скачка и дельта-функцией Дирака
Пример 11.1. Робота с функцией единичного скачка и дельта-функцией Дирака Обе описанные функции широко применяются при решении задач автоматического регулирования и при математическом моделировани... Улучшенное вычисление пределов — Limit
Улучшенное вычисление пределов — Limit Подпакет Limit не создает новых функций. Он просто переопределяет встроенную функцию Limit, так что ограничимся примерами его применения: Calculus` Limit` Li... Рациональная аппроксимация аналитических функций — Fade
Рациональная аппроксимация аналитических функций — Fade Полиномиальная аппроксимация и обычное разложение функций в ряд Тейлора нередко дают слишком большую погрешность. Уменьшение ее возможно при... Пример 11.2. Пример, осуществления аппроксимации Паде
Пример 11.2. Пример, осуществления аппроксимации Паде Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации показан на рис. 11.3. Здесь также дана визуализация аппроксимации в виде наложенны... Пример 11.3. Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации
Пример 11.3. Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации Экономичная рациональная аппроксимация обычно позволяет получить приемлемую погрешность при меньшей степени полиномов числи... Пример 11.4. Пример осуществления...
Пример 11.4. Пример осуществления экономичной рациональной аппроксимации с построением графика погрешности Несмотря на обширные возможности выбора средств аппроксимации, все же надо отметить, что... Векторный анализ —VectorAnalysis
Векторный анализ —VectorAnalysis Подпакет VectorAnalysis содержит множество функций, используемых при выполнении векторного анализа. Здесь надо иметь в виду, что речь идет не о векторах как предст... Вариационные методы —VariationalMethods
Вариационные методы —VariationalMethods Подпакет VariationaLMethods содержит функции для реализации вариационных методов. Напомним, что вариационные методы заменяют минимизацию функционала, заданн... Пакет дискретной математики DiscreteMath
Пакет дискретной математики DiscreteMath Пакет DiscreteMath задает набор функций дискретной математики. Это прежде всего функции комбинаторики и работы с графами (более 230 функций). Мы вынуждены... Комбинаторика и ее функции — Combinatorica и CombinatorialFunctions
Комбинаторика и ее функции — Combinatorica и CombinatorialFunctions Несколько функций комбинаторики (Factorial, Factorial2, Binomial, Multinomial, Pochhammer и Fibonacci) могут использоваться без... Пример 11.5.
Пример 11.5. Примеры работы с подпакетом функций комбинаторики Подпакет Combinatorica задает определение ряда функций комбинаторики и теории графов. Ниже представлены имена функций комбинаторики.... Пример 11.6.
Пример 11.6. Примеры работы с функциями разделения, композиции и картин Янга Этих примеров достаточно, чтобы заинтересованный читатель по их образцу и подобию изучил свойства и возможности нужных... Графы и их функции
Графы и их функции Mathematica имеет самые обширные возможности решения задач, связанных с графами. Задание графов и манипуляции с ними также включены в пакет комбинаторики. Они представлены четыр... Пример 11.7.
Пример 11.7. Пример построения полного графа и его таблицы... Пример 11.8.
Пример 11.8. Построение графа звезды и подграфа... Пример 11.9.
Пример 11.9. Примеры построения графов с помощью функций Contractn GridGraph Приведенный выше набор функций позволяет строить практически любые виды графов и обеспечивает высокую степень их визуал... Пример 11.10.
Пример 11.10. Создание графов с помощью функций GraphUnion и GraphProduct С действием других функций нетрудно ознакомиться самостоятельно. Свойства графов ArticulationVertices Automorphisms Bi Con... Пример 11.11.
Пример 11.11. Построение графов — ориентированного (сверху) и с маркированными вершинами (снизу) Построение широко используемой в теории графов диаграммы Хассе (Hasse) иллюстрирует рис. 11.12. Алг... Функции вычислительной геометрии — ComputationalGeometry
Функции вычислительной геометрии — ComputationalGeometry В подпакете ComputationalGeometry заданы следующие функции, относящиеся к геометрическим поверхностям: ConvexHull [ { {xl, yl...}, {х2, у2,... Пример 11.14.
Пример 11.14. Пример построения планарного графа и его выпуклой огибающей Выполнение триангуляции Делоне иллюстрирует рис. 11.15.... Пример 11.15.
Пример 11.15. Выполнение триангуляции Делоне Наконец, на рис. 11.16 показаны результаты действия еще двух функций — построение диаграммы и триангуляция в пространстве.... Пример 11.16.
Пример 11.16. Построение диаграммы (сверху) и триангуляция в пространстве (снизу)... Дискретные функции единичного скачка и импульса — KroneckerDelta
Дискретные функции единичного скачка и импульса — KroneckerDelta В подпакете KroneckerDelta системы Mathematica 3 заданы дискретные функции единичного скачка и единичного импульса: DiscreteStep [n... Пример 11.17.
Пример 11.17. Пример применения функции скачка в двумерном случае В системе Mathematica 4 функция KroneckerDelta стала встроенной. В данный подпакет входят еще две функции: SimplifyDiscreteStep [е... Дискретные перестановки — Permutations
Дискретные перестановки — Permutations В подпакете Permutations определен ряд функций дискретных перестановок: RandomPermutation [n] — случайные перестановки из n элементов; Ordering [list] — дает... Решение рекуррентных разностных уравнений — RSolve
Решение рекуррентных разностных уравнений — RSolve Для решения рекуррентных разностных уравнений в подпакет RSolve введены следующие функции: RSolve [eqn, a [n] , n] — решает рекуррентное уравнени... Деревья—Tree
Деревья—Tree Подпакет Tree содержит функции создания и применения древовидных структур, именуемых деревьями. Вот эти функции: MakeTree [list] — создает дерево по информации, представленной в списк... Пример 11.18.
Пример 11.18. Примеры визуализации деревьев... Пример 11.19
Пример 11.19 . Построение графиков деревьев с помощью функции ExprPlot... Геометрические расчеты — пакет Geometry
Геометрические расчеты — пакет Geometry В этом разделе описан пакет Geometry, содержащий ряд функций, полезных при выполнении геометрических расчетов. В основном это функции, относящиеся к построе... Характеристики регулярных полигонов и полиэдров — Polytopes
Характеристики регулярных полигонов и полиэдров — Polytopes Подпакет Polytopes содержит ряд функций для регулярных полигонов (многоугольников): NumberOfVertices [р] — число вершин углов полигона;... Пример 11.20. Примеры работы с функциями полигонов
Пример 11.20. Примеры работы с функциями полигонов Здесь наименование полиэдра может быть следующим: Tetrahedron (4) Cube (6) Octahedron (8) Didecahedron (12) Icosahedron (20) Примеры применения ф... Вращение фигур на плоскости и в пространстве — Rotations
Вращение фигур на плоскости и в пространстве — Rotations Для задания поворота плоских фигур на заданный угол в подпакете Rotations заданы следующие функции: RotationMatrix2D[theta] — дает матрицу... Пример 11.21. Работа с функциями поворота
Пример 11.21. Работа с функциями поворота Аналогичные функции существуют и для поворота трехмерных фигур: RotationMatrix3D [psi, theta,phi] — дает матрицу поворота на заданные углы в трехмерном пр... Линейная алгебра— пакет LinearAlgebra
Линейная алгебра— пакет LinearAlgebra Пакет расширения LinearAlgebra добавляет ряд новых функций, полезных при решении сложных задач линейной алгебры.... Декомпозиция Холесского — Cholesky
Декомпозиция Холесского — Cholesky Подпакет Cholesky содержит единственную функцию HoleskyDecomposition [m], которая вычисляет декомпозицию (факторизацию, разложение) Холесского для симметричной п... Метод исключения Гаусса — GaussianElimination
Метод исключения Гаусса — GaussianElimination Следующие функции обеспечивают реализацию метода исключения Гаусса при решении линейного уравнения вида А-x =b: LUFactor [m] — возвращает LU-декомпози... Операции с матрицами — MatrixManipulation
Операции с матрицами — MatrixManipulation Подпакет MatrixManipulation добавляет к матричным функциям ядра системы Ма-thematica ряд новых функций. Начнем с функций объединения матриц: AppendColumns... Ортогонализация и нормализация — Ortogonalization
Ортогонализация и нормализация — Ortogonalization В подпакете ортогонализации Ortogonalization имеются следующие функции: GramSchmidt [ {vl, v2,...} ] — создает ортогональное множество на основе с... Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей —Tridiagonal
Решение линейных уравнений с трехдиагональной матрицей —Tridiagonal При решении линейных уравнений часто встречаются матрицы особой формы — трехдиагональные. Подпакет Tridiagonal имеет функцию для... Расширение в теории чисел
Расширение в теории чисел Мы уже описывали уникальные возможности систем Mathematica 3/4 в области обработки чисел и численных вычислений. Эти возможности существенно расширяет пакет NumberTheory,... Цепные дроби — ContinuedFractions
Цепные дроби — ContinuedFractions Следующие функции подпакста ContinuedFractions служат для представления чисел в виде цепных дробей или для формирования цепной дроби из списков: ContinuedFraction... Улучшенное разложение на простые множители — FactorlntegerECM
Улучшенное разложение на простые множители — FactorlntegerECM Алгоритм разложения чисел на простые множители, реализованный в ядре Mathematiica 3, способен за 3 часа (на рабочих станциях) разлагат... Функции теории чисел — NumberTheory Functions
Функции теории чисел — NumberTheory Functions В подпакете NumberTheoryFunctions имеется ряд функций, относящихся к теории чисел: SquareFreeQ[n] — дает True, если п не имеет квадратичного фактора,... Работа с простыми числами-PrimeQ
Работа с простыми числами-PrimeQ В подпакете PrimeQ в дополнение к функции ядра PrimeQ [n] имеется ряд функций для работы с простыми числами: ProvablePrimeQ [n] — возвращает True, если п проверено... Вычисление примитивных элементов — Primitive Element
Вычисление примитивных элементов — Primitive Element Подпакет PrimitiveElement содержит всего одну функцию для вычисления примитивных элементов множественного алгебраического выражения: PrimitiveE... Создание рядов Рамануджанат-Дирихле — Ramanujan
Создание рядов Рамануджанат-Дирихле — Ramanujan В подпакете Ramanujan определены следующие функции: RamanujanTau [n] — n-й коэффициент ряда Рамануджана т-Дирйхле (т n ); RamanujanTauGeneratingFunc... Рационализация чисел — Rationalize
Рационализация чисел — Rationalize Подпакет Rationalize расширяет возможности представления чисел в рациональном виде. Он содержит определения следующих функций: ProjectiveRationalize [ {х0, xl,..... Нахождение полинома, дающего заданный корень — Recognize
Нахождение полинома, дающего заданный корень — Recognize Подпакет Recognize содержит определение одноименной с ним функции в двух формах: Recognize [x,n,t] — находит полином переменной t степени,... Тета-функция Зигеля
Тета-функция Зигеля Подпакет SiegelTheta содержит еще одну редкую функцию: SiegelTheta [z, s] — возвращает значение тета-функции Зигеля Q(Z, s). Примеры вычисления этой функции даны ниже: NumberTh... Численные расчеты — пакет NumericalMath
Численные расчеты — пакет NumericalMath Пакет расширения NumericalMath содержит множество полезных функций для тех, кто имеет дело с численными расчетами. В их числе функции для выполнения высокот... Аппроксимация аналитических функций — Approximations
Аппроксимация аналитических функций — Approximations Подпакет Approximations содержит ряд функций для улучшенной рациональной аппроксимации аналитических функций. Для рациональной интерполяции и а... Пример 11.22. График погрешности рациональной аппроксимации экспоненциальной функции
Пример 11.22. График погрешности рациональной аппроксимации экспоненциальной функции В данном случае выбор абсцисс осуществляется автоматически в интервале от xmin до mах. В отличие от первого слу... Пример 11.23. График погрешности аппроксимации синусоидальной функции
Пример 11.23. График погрешности аппроксимации синусоидальной функции При рациональной аппроксимации можно задать опции WorkingPrecision и Bias со значениями по умолчанию $MachinePrecision и 0 соо... Пример 11.24. Погрешность аппроксимации экспоненты при выборе опции Bias->.25
Пример 11.24. Погрешность аппроксимации экспоненты при выборе опции Bias-.25 Из приведенных примеров ясно, что рациональная аппроксимация способна дать существенное уменьшение погрешности при неко... Пример 11.25. График погрешности при минимаксной аппроксимации экспоненциальной функции
Пример 11.25. График погрешности при минимаксной аппроксимации экспоненциальной функции Следует отметить, что малость абсолютной ошибки для ряда функций (например, тригонометрических) может привод... Пример 11.26. График погрешности при минимаксной аппроксимации функции косинуса
Пример 11.26. График погрешности при минимаксной аппроксимации функции косинуса... Нули функций Бесселя — BesselZeros
Нули функций Бесселя — BesselZeros В подпакете BesselZeros определены функции, дающие список аргументов функций Бесселя в их первых п нулевых точках: BesselJZeros [mu, n], Bessel-YZeros[mu,n], Bes... Поиск корней уравнений с интерполяцией — InterpolateRoot
Поиск корней уравнений с интерполяцией — InterpolateRoot Подпакет InterpolateRoot дает средства для ускоренного и более точного поиска корней уравнений по сравнению с соответствующими функциями яд... Реализация интервальных методов —IntervalRoots
Реализация интервальных методов —IntervalRoots Иногда важно не найти приближенное значение корня, а уточнить интервал, в котором он находится. В подпакете IntervalRoots для этого используется ряд... Табличное численное интегрирование — Listlntegrate
Табличное численное интегрирование — Listlntegrate Встроенная в ядро функция NIntegrate вычисляет определенные интегралы при известной подынтегральной функции. Однако нередко, например при экспери... Численное вычисление пределов — NLimit
Численное вычисление пределов — NLimit В подпакете N limit определена функция Nlimit[expr,х-х0] для численного вычисления пределов выражений ехрг (см. примеры ниже): NumericalMath` NLimit` NLimit[... Численное вычисление остатка — N Residue
Численное вычисление остатка — N Residue В подпакете NResidue имеется функция вычисления остатка NResidue [expr, {x, x0} ] в точке х=х0: NumericalMath` NResidue` NResidue[1/z, {z, 0}] 1. + 6.35614... Численное разложение в ряд — NSeries
Численное разложение в ряд — NSeries Подпакет NSeries вводит функцию NSeries [f, {x,xO,n}], которая дает численный ряд, аппроксимирующий функцию f(x) в окрестности точки х = х 0 , включая термы от... Вычисление коэффициентов формулы интегрирования Ньютона—Котесса — NewtonCotes
Вычисление коэффициентов формулы интегрирования Ньютона—Котесса — NewtonCotes Функция NIntegrate, имеющаяся в ядре системы Mathematica, реализует метод интегрирования Гаусса—Кронрода. Еще одним из... Что нового мы узнали?
Что нового мы узнали? В этом уроке мы научились: Пользоваться алгебраическими функциями пакета Algebra. Применять вычислительные функции пакета Calculus. Работать с функциями дискретной математики...