Основные операции над полиномами

Полиномом называют выражение, состоящее из нескольких частей одного вида. В западной математической литературе к ним часто относят степенной многочлен вида

Р(х) = а0 + а1х + а2 х2 + а3 х3 + ... + аnхn.

Хотя термин «полином» не очень прижился в отечественной математической литературе, мы оставляем его ввиду краткости и ради лучшего понимания синтаксиса функций системы, поскольку слова poly и Polynomial входят в параметры и имена многих функций. При этом полиномы мы будем кратко обозначать как poly или pi (здесь i — индекс или порядковый номер полинома).

Над полиномами можно выполнять обычные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Это иллюстрируют следующие примеры (здесь р! и р2 — полиномы от одной переменной х):

р1 := х^3 + 2*х^2 + 3*х + 4

р2 := х^2 - 1

р1 + р2

3+3х+3х2+х3

р1 - p2

5+3х+х2+х3

Expand[pl*p2]

-4- 3х + 2х2 + 2х3 + 2х4 + х5

pl/p2

[4 + Зх+2х2 + х3]/[-1 + х2]

Simplify[(х^5 + 2*х^4 + 2*х^3 + 2*х^2 - 3*х - 4)/(х^2 - 1)]

4+3х+2х2+х3

Если ситуация со сложением и вычитанием полиномов достаточно очевидна, то с умножением и делением результат часто повторяет задание. Для получения результата умножения полиномов в обычной форме следует использовать функцию расширения символьных выражений Expand.

Если один полином делится на другой (это бывает далеко не всегда), то для получения результата надо использовать функцию Simplify. В общем случае при делении полиномов может оставаться остаток. Функция, обеспечивающая деление полиномов и вычисляющая остаток, описана ниже.

Содержание раздела