Встроенные функции

Важнейшим объектом любой компьютерной математической системы является функция. Она отражает зависимость некоторой величины от одного или нескольких аргументов. Например, функция sin(x) дает зависимость синуса х от величины аргумента х при изменении последнего от -°° до +°°.

Признаком функции является возврат результата выполняемого ею действия. Характер результата будет зависеть от смысла функции, который нередко явно указывается ее именем — идентификатором. Например, функция Digitslnteger [n] возвращает число десятичных цифр десятичного целого числа. Это ясно из прямого перевода имени функции — слово Digitslnteger говорит о том, что она возвращает число цифр целого числа. Подобные смысловые имена задаются для большинства функций системы Mathematica и облегчают их запоминание.

Понятие функции в системе Mathematica существенно расширено — функции могут возвращать графические и даже звуковые объекты. Здесь мы, однако, остановимся на общепринятом в программировании понятии функций, возвращающих в ответ на обращения к ним численные или символьные значения.

Функции могут входить в состав математических выражений. Обычно они имеют один или несколько параметров, указываемых в квадратных скобках. Если параметров несколько, то в квадратных скобках указывается список параметров, разделенных запятыми. В общем случае параметрами могут быть списки. Наконец, в состав функций могут входить опции, указанные своим именем и (после знака ->) значением. Для обозначения положительной бесконечности используется символ Infinity. Целочисленные функции имеют в своем имени слово Integer.

В ядро систем Mathematica 3/4 входит множество встроенных функций, то есть функций, готовых к немедленному использованию без какого-либо предварительного объявления. Таких функций многие сотни. Среди них различные арифметические функции, тригонометрические и гиперболические функции, специальные математические функции и т. д. Мы рассмотрим их в дальнейшем.

Основные арифметические функции

Для выполнения арифметических действий в системах Mathematica 3/4 определены следующие арифметические функции:

Divide [х, у] — возвращает результат деления х на у эквивалентно выражению х у ^ -1;
Plus[x, у,...] — возвращает сумму элементов списка;
PowerModta, b, n] — возвращает Mod[a ^ b, n]. Для b<0 возвращает инверсию остатка;
Times [х, у,...] — возвращает произведение аргументов х*у*...;
Mod [m, n] — возвращает остаток от деления m на п. Результат имеет такой же знак, как п.

Ниже представлены примеры применения арифметических функций.

Ввод (In)	Вывод (Out)
Divide [1. ,3]	0.333333
Mod [123, 20]	3
Mod [123, -20]	-17
Mod[-123,20]	17
Plus[2,3,4]	9
Times [2, 3,4]	24

Для обмена значениями переменных х и у можно использовать выражение {х,у}={у,х}

Пример обмена переменных значениями:

а=1;b=2;

{а,b}={b,а};

{а,b}

{2, 1}

Следующие функции служат для приведения вещественных чисел к ближайшим целым по определенным правилам:

Ceiling [х] — возвращает значение наименьшего целого числа, большего или равного х;
Floor [х] — возвращает наибольшее целое число, не превышающее данного х;
Quotient [n, m] — возвращает целое значение n/m, определяемое как Floor[n/m];
Round [х] — округляет х до ближайшего целого.

Хотя аргументами этих функций указано значение х, под ним можно понимать список вещественных чисел. Следующие примеры поясняют это и наглядно иллюстрируют правила приведения к целым числам.

Ввод (In)	Вывод (Out)
Ceiling [{-5. 9, -5..1, 5, 5.1, 5.9}]	{-5, -5, 5, б, 6}
Floor [{-5. 9, -5.1,, 5, 5.1, 5.9}]	{-6, -6, 5, 5, 5}
Round[{-5.9, -5.1,, 5, 5.1, 5.9}]	{-6, -5, 5, 5, 6}

Ряд функций обеспечивает нахождение делителей целых чисел и наименьшего общего -кратного:

Divisors [n] — возвращает список целочисленных делителей числа п;
DivisorSigma [k, n] — возвращает сумму &-х степеней положительных делителей числа п;
ExtendedGCD [n, m] — возвращает расширенный наибольший общий делитель целых чисел пит;
GCD [nl,n2,...] — возвращает наибольший общий делитель целых чисел ni;
LCM[nl, n2,...] — возвращает наименьшее общее кратное целых чисел ni.

Ниже представлены примеры применения этих функций.

Ввод (In)	Вывод (Out)
LCM[124,12,6]	372
GCD [144, 12, 6]	6
Divisors [123]	{1,3,41,123}
DivisorSigma [17,3]	129140164
ExtendedGCD [144,12]	{12, {0,1}}

К целочисленным функциям можно отнести также функции вычисления факториала и двойного факториала:

Factorial [n] или n! — возвращает значение факториала числа n (n!=n* (n-1) *...*3*2*1, причем 0 !=1 и 1 !=1);
Factorial2 [n] или n! ! — возвращает значение двойного факториала числа п, равное п* (n-2) * (n-4) *...«%»

Ниже представлены примеры вычисления факториалов.

Ввод (In)	Вывод (Out)
Factorial [10]	3628800
20!	2432902008176640000
10!!	3840
20!//N	2.4329Х10 18

Mathematica способна вычислять факториалы больших чисел. Практически мгновенно (даже на компьютере с 486-м процессором) вычисляются значения до 1000!, хотя результат при этом занимает несколько страниц на экране дисплея. Можно вычислить даже 10000!, но для этого потребуется время до нескольких минут (зависит от типа компьютера). Обратите внимание на то, что управляющий символ //N за выражением дает вывод (аппроксимацию) в форме научной нотации.

Следующие функции служат для получения простых чисел и некоторых их характеристик:

Prime [n] — возвращает п-е простое число. Например, Prime [5] возвращает пятое простое число — 11. Всего лишь доли секунды требуются системе для вычисления миллиардного простого числа: Рг1те[10 Л 9] дает 22801763489;
PrimePi [x] — возвращает количество простых чисел, не превышающих х. Например, PrimePi [10] возвращает 4;
Partitions? [n] — возвращает числор(п) неупорядоченных разбиений целого числа п. Например, Partitions? [10] возвращает 42;
PartitionsQ [n] — возвращает q(n) — число разбиений с неравными частями для целого числа п. Например, PartitionsQ [15] возвращает 27.

Эти функции полезны при решении задач теории чисел.

Функции генерации случайных чисел

Для реализации статистических методов моделирования используются случайные числа. Система имеет генератор псевдослучайных чисел, доступ к которому обеспечивают следующие функции:

Random [ ] — возвращает равномерно распределенное псевдослучайное число типа Real в интервале от 0 до 1;
Random [type, range] — дает псевдослучайное число указанного типа type, лежащее в указанном интервале range. К возможным типам относятся Integer, Real и Complex. По умолчанию принят интервал от 0 до 1. Можно задать интервал явно в виде {min, max}; спецификация интервала в виде max эквивалентна {0, max};
SeedRandom[n] — сбрасывает (устанавливает в начальное состояйие) генератор случайных чисел, используя целое п как начальное число;
SeedRandom [ ] — устанавливает генератор, используя в качестве начального числа текущее время.

Хотя генерируемые числа не являются строго случайными, их количество в повторяющейся последовательности очень велико. Использование специальной установки начального состояния генератора, например по времени дня, делает повторение последовательности практически невозможным.

Для проверки равномерности распределения большого массива случайных чисел можно задать с их помощью случайные координаты и затем построить точки, соответствующие координатам (х, у). Рисунок 3.4 наглядно показывает, как это делается для массива из 10 000 случайных точек. О равномерности распределения случайных чисел говорит равномерность распределения плотности точек на графике.

Содержание раздела