Компьютерная алгебра в программе Mathematica 4
Операции с целыми числами
Пример 3.1. Операции с целыми числами
Количество цифр, представляющих большое целое число, ограничено лишь его значением, но не какими-либо фиксированными форматами. Рациональные данные задаются отношением целых чисел, например 123/567, и также представляют результат точно. Поэтому система при символьных и численных расчетах всегда старается выдать результат в виде целых или рациональных чисел, там где это возможно: 1000000/3000000 1/3 (124-1)/(455+1) 41/152 Фактически целые числа произвольной разрядности в системах символьной математики представляются списками отдельных цифр. Особая организация списков повышает компактность представления больших целых чисел. Характерным примером работы с целыми числами большой разрядности является вычисление факториала n!=1*2*3*. . . *n. Примеры его вычисления уже приводились (см. рис. 1.16).
Числа с произвольным основанием Для вычисления чисел с произвольным основанием используется конструкция Основание^^Число Число должно быть записано по правилам записи чисел с соответствующим основанием. Если основание больше 10, для обозначения значений чисел используются буквы от а до z. Наиболее известными из чисел с основанием системы счисления, превышающим 10, являются шестнадцатеричные числа (HEX — от слова hexagonal). Разряды таких чисел могут иметь следующие значения: HEX 0123456789abCdef DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Каждый более старший разряд имеет весовой коэффициент относительно предыдущего разряда, равный 16. Примеры задания шестнадцатеричного и двоичного чисел: 16^^123abcde 305839326 2^^1010111 87 Для представления чисел с произвольным основанием n (до 32) используется функция BaseForm[expr, n], которая возвращает выражение ехрг в форме числа с основанием n, которое указывается как подстрочный индекс. Примеры использования функции BaseForm: BaseForm[87,2] 10101112 BaseForm[305839326,16] 123abcde16 В дальнейшем мы будем использовать только десятичные числа.
Вещественные числа
Численные данные могут быть представлены также десятичными вещественными числами, которые могут иметь различную форму, например 123.456, 1.23456 10^2,12345.6 10^-2 и т. д. В общем случае они содержат мантиссу с целой и дробной частями и порядок, вводимый как степень числа 10. Как правило, вещественные числа в системах символьной математики могут иметь мантиссу с любым, но конечным числом знаков. Пробел между мантиссой и порядком эквивалентен знаку умножения *: 23.456*10^100 2.345бх10^101 10^-100 1/ 100000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000 10.^-100 1.x 10^-100 Как принято в большинстве языков программирования, целая часть мантиссы отделяется от дробной части точкой, а не запятой. Mathematica производит операции с числами изначально как с целыми. Однако установка значка разделительной точки означает, что число должно рассматриваться как вещественное. Например, 1 — целое число, но 1. — уже вещественное число. Для представления выражения ехрг в форме вещественного числа используется функция N [ехрг] или N [ехрг, число_цифр_результата].Примеры:
1/3 1/3 1./3 . 0.333333 N[1/3] 0.333333 N[2*Pi,50] 6.283185307179586476925286766559005768394338 Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления и существования так называемого машинного нуля — наименьшего числа, которое воспринимается как нуль. В терминах системы Mathematica говорят о приближении числовых данных как об их аппроксимации, хотя в отечественной литературе под аппроксимацией чаще подразумевают описание некоторой зависимости между данными достаточно приближенной аналитической зависимостью. Mathematica имеет две системные переменные, позволяющие вывести максимально и минимально возможные значения чисел, с которыми оперирует система: $MaxMachineNumber 1.79769х10^308 $MinMachineNumber 2.22507х 10^-308 Обратите внимание на то, что функция N [ехрr, m] позволяет получить число с практическим любым числом цифр результата m. Разработчики последней версии Mathematica 4 утверждают, что это верно при количестве цифр результата до одного миллиона, что с лихвой удовлетворяет требованиям подавляющего большинства расчетов и вычислений. Функции IntegerPart [x] и FractionalPart [x] обеспечивают возврат целой и дробной частей вещественного числа х: N[Pi] 3.14159 IntegerPart[Pi] 3 FractionalPart[Pi] -3.+ Л N[FractionalPart[Pi]] 0.141593 Еще одна функция RealDigits [x] возвращает список реальных цифр результата и число цифр целой части х: RealDigits[N[2*Pi]] {{6, 2, 8, 3, 1, 8, 5, 3, 0, 7, 1, 7, 9, 5, 8, 6}, 1} Есть и множество других функций для работы с вещественными числами. Они будут рассмотрены в дальнейшем. В Mathematica 4 функция RealDigits имеет расширенные формы, например RealDigits [x, b, len, n]. Для получения цифр мантиссы введены функции MantissaExponent [x] и MantissaExpo-nent[x,b].Комплексные числа
Многие математические операции базируются на понятии комплексных чисел. Они задаются в форме z=Re(z)+I*Im(z) или z=Re(z)+i Im (z) где знак I (i) — мнимая единица (квадратный корень из -1), Re (z) — действительная часть комплексного числа, a Im (z) — мнимая часть комплексного числа. Пример задания комплексного числа: 2 + I3 или 2 + 3*I Мнимая часть задается умножением ее значения на символ мнимой единицы I. При этом знак умножения * можно указывать явно или заменить его пробелом — в последнем случае комплексное число выглядит более естественным. Функции Re [ z ] и Im [ z ] выделяют, соответственно, действительную и мнимую части комплексного числа z. Это иллюстрируют следующие примеры: Re[3+2*1] 3 Im[3+2 I] 2 Большинство операторов и функций системы Mathematica работают с комплексными числами. Разумеется, это расширяет сферу применения системы и позволяет решать с ее помощью различные специальные задачи — например, относящиеся к теории функций комплексного аргумента. Комплексные числа широко используются в практике электро- и радиотехнических расчетов на переменном токе.