Математические системы в образовании и в науке

Можно сказать, что даже самые мощные системы для численных расчетов являются полными «профанами» в символьной математике. Они начисто лишены даже задатков элементарного разума, что видно уже из приведенного примера — даже школьник знает, что сумма квадратов синуса и косинуса равна в точности единице при любом аргументе х. А что говорить о столь распространенных аналитических вычислениях, как упрощение сложных математических формул, осуществление подстановок, вычисление пределов, производных и первообразных функций, разложении их в ряды Тейлора и Фурье, вычислении корней многочленов с буквенными коэффициентами и т. д.?

Такая возможность действительно имеется, однако следует иметь в виду, что векторные графические объекты, скопированные из Mathematica через буфер обмена, не вполне корректно воспринимаются другими приложениями. При верстке данной книги это вызвало очень много проблем.

Трудно сказать, сколько слез пролито школьниками и их матерями по поводу неправильно сделанных математических преобразований на контрольных работах и экзаменах и сколько ребят восприняли математику как заклятого врага из-за первых неудач в ее изучении. Еще больший урон народному хозяйству (то бишь рынку) наносит неумение выпускников школ и вузов применять современные математические методы на практике, хотя именно это является конечной целью фундаментального математического образования. Многие студенты запоминают математические истины от силы на несколько дней во время экзаменов.

Как же найти выход из этого тупика? Одна из возможностей — применение достаточно универсальных СКМ, автоматизирующих большую часть математических вычислений. Такие системы позволяют пользователю — как студенту, так и научному работнику — быстро вспомнить полученные в вузе знания и легко использовать их на практике без этапа нудных и трудоемких рутинных вычислений и преобразований. А заодно и освоить новые для себя методы и разделы современной математики.

К сожалению, за пределами возможностей численных математических систем оказались обширные области математики, связанные с проведением аналитических расчетов — от простых подстановок и сокращений до аналитической обработки математических выражений и функций и обучения компьютера новым математическим закономерностям и соотношениям. Всей этой работой, относящейся в основном к разделам элементарной и высшей алгебры, и были вынуждены заниматься математики-аналитики.

Увы, в нашей системе образования недостаточное знакомство с современными СКМ характерно не только для студентов, но и для доцентов и профессоров вузов. Среди них хорошее владение СКМ скорее исключение, чем правило. Это серьезно препятствует решению ряда первостепенных проблем образования — повышению его фундаментальности и вхождению нашей образовательной системы в общемировую, где компьютерные системы символьной математики в последние годы нашли самое широкое применение.

Очевидно, что чем раньше пользователь ПК начнет знакомиться с СКМ, тем больше математических знаний он получит. Хотя, безусловно, желательно, чтобы такое использование шло под контролем опытного преподавателя.

К сожалению, у нас есть серьезная причина, препятствующая широкому применению СКМ в образовании, — слабость материально-технической базы школ, вузов, да и многих университетов. Классами с современными ПК многие наши образовательные учреждения не обладают. Тем не менее, это чисто техническая проблема, которая постепенно решается.

В новых стандартах образования роль СКМ наконец-то осознана всерьез. По ряду специальностей математического профиля предусмотрено изучение СКМ. Это делает книги, подобные данной, нужными для системы образования.

Разумны ли системы символьной математики?

Математика непрерывно развивается, и ни один самый способный ученик не в состоянии (и слава Богу!) вместить в извилины своего мозга все математические законы и правила, созданные за многовековую историю человечества. Сотни лет назад такие задачи, как решение квадратного уравнения в общем виде, были в числе труднейших математических задач, а сейчас их «щелкают» школьники. Даже многотомные справочники по математике не гарантируют полного описания всех ее возможностей. Так что нет ничего страшного в том, что в наш просвещенный век вычисление производных или первообразных функций в аналитическом виде берет на себя компьютер. И их применение внешне становится таким же простым, как таблица умножения.

Сейчас слова «компьютерный разум» обычно берут в кавычки, всячески подчеркивая, что компьютер сам по себе не способен дать принципиально новые результаты (то есть те, которые не были заранее заложены в него человеком, его создавшим). Для многих, что в целом справедливо, вопрос о том, разумна ли система символьной математики, подобен вопросу о том, разумен ли хороший и полный справочник по математике.

И все же применительно к современным системам символьной математики (и универсальным СКМ) такая аргументация, пожалуй, не вполне приемлема. Да, базовые формулы и правила символьных преобразований в математические системы компьютерной алгебры заложены их создателями. Поэтому принципиально новых научных данных система сама по себе вроде бы и не дает. Но разве не такова в целом и ситуация с обычным использованием математического аппарата любым математиком-аналитиком?

Между тем большинству конкретных пользователей системы символьной математики дают новые знания в виде далеко не очевидных для них математических и иных закономерностей. Результат сложных и многоэтапных рекуррентных символьных преобразований даже по известным правилам может быть действительно новым, то есть ранее не опубликованным, заранее не предсказуемым и далеко не очевидным. Этим системы символьной математики принципиально отличаются от обычных справочников по тем или иным формулам. Они дают сведения не только по жесткому набору формул, но и по тем аналитическим соотношениям, которые в такой набор не вошли.

Подобные результаты нередко могут подтолкнуть серьезного научного работника или педагога к открытию неизвестных закономерностей в исследуемых или изучаемых ими явлениях. К тому же современные системы компьютерной алгебры способны к расширению — в них можно вводить новые закономерности и связи (подчас самые смелые и безумные), а затем исследовать малоизвестные или вообще неизвестные результаты их действия, получаемые в результате сложных аналитических преобразований. Так что вполне допустимо считать такие системы в известной мере разумными и способными помочь пользователю в создании новых теоретических положений и даже научных теорий.

Немаловажный довод в пользу некоторой разумности современных систем символьной математики заключается в особом назначении примеров их применения, которых в справочной базе данных могут насчитываться тысячи. Здесь уместно упомянуть высказывание И . М. Гельфанда: «Теории приходят и уходят, а примеры остаются».

Во всех современных СКМ примеры применения «живые» — вы можете подыскать наиболее близкий к решаемой вами задаче пример и тут же перестроить его под свои нужды. Обычные книги и справочники такой возможности принципиально не дают. Обучение на примерах — один из самых эффективных методических приемов. Он широко используется в данной книге и составляет основу справочной базы данных систем Mathematica.

В свое время нас учили, что количество переходит в качество. Примеров этого в природе превеликое множество. Системы компьютерной математики по обилию встроенных в них функций, правил преобразования и конкретных примеров применения уже вышли за пределы, которые способен оценить индивидуальный пользователь, даже если он достаточно опытный математик. К примеру, ядро Mathematica 4 хранит данные о примерно 5 тысячах интегралов! Это говорит о том, что СКМ находятся уже на пороге того, что их количественные характеристики перерастут в качественные. Среди них может оказаться и разум СКМ — на сей раз без каких-либо оговорок.

Что дает компьютерная математика университетам и школам

В конечном счете, СКМ — не более чем удобный и мощный инструмент для учащегося, педагога, инженера или научного работника. Как его применять (в методическом, научном и практическом отношении), зависит уже от пользователя. Однако важно и ценно то, что системы символьной математики снимают у учащихся психологический барьер в реальном применении математики, особенно высшей.

Тем не менее, многие преподаватели математики опасаются приобщения своих учеников к работе с СКМ. Бывает, что некоторые преподаватели школ и вузов при подготовке массовых заданий по алгебре, тригонометрии и геометрии сами применяют СКМ — например, для подготовки заданий по курсам математики или физики. Но это становится еще одним наивным поводом ограждать учащихся от систем символьной математики и даже запрещать их в учебном процессе. Оно и понятно — ведь школьник или студент, имеющий компьютер с системой компьютерной алгебры, прощелкает все подобные примеры за считанные минуты. Между тем учащихся, столь виртуозно владеющих системами компьютерной математики, надо лишь всячески поощрять! Увы, пока их очень мало...

Надо учитывать, что эффективное применение систем компьютерной алгебры практически невозможно без четкого понимания основ элементарной и высшей математики. Невозможно оно и без творческого участия пользователя как в постановке решения задач, так и в контроле и отборе результатов их решения. В большинстве математических систем используются специальные опции и директивы, направляющие решение в нужное русло. В какое именно — должен определить пользователь, владеющий нужными для этого математическими понятиями. Кроме того, именно пользователю необходимо проверить полученные результаты и убедиться в их достоверности.

Среди части преподавателей вузов существует в корне неверное мнение о том, что не нужно изучать сами СКМ — достаточно использовать доморощенные обучающие программы. Среди таких программ и впрямь есть интересные разработки, но, как правило, они базируются на ядре той или иной символьной СКМ, причем нередко старых версий, применяемых с целью обойти лицензионные ограничения.

По большому счету, такие обучающие системы ничего нового в процесс математических вычислений не вносят. Современные универсальные СКМ намного мощнее подобных программ, имеют более совершенный и более удобный интерфейс пользователя, а главное — только они реально применяются на месте работы будущих специалистов. Поэтому изучение современных СКМ столь же необходимо, как изучение офисных программ, например, того же текстового редактора Word 95/97. Наиболее удобной формой для этого являются спецкурсы, хотя и в ряде обязательных курсов такое изучение предусмотрено новыми учебными программами Министерства образования РФ.

В наших экономических условиях особенно велика роль систем компьютерной математики как мощных электронных справочников. Число издаваемых обычным способом справочников по математике или физике (не говоря уже о инженерных дисциплинах) в последние годы катастрофически упало. Это повышает роль справочников электронных, тем более что справочные базы данных современных систем компьютерной математики обладают рядом очевидных достоинств:

вмещают в себя объемы информации, эквивалентные порой десяткам книг;
аккумулируют знания, полученные за многие тысячелетия развития математики;
имеют безупречное оформление документов (цветные тексты и иллюстрации, всевозможные выделения, качественные иллюстрации и т. д.);
имеют разную организацию оглавления (индексную, поиск по контексту и т. д.); О отличаются очень быстрым поиском нужной информации по ряду критериев;
имеют «живые» примеры, которые можно изменять в ходе просмотра справочных данных;
справочные материалы могут сопровождаться звуковыми и видеокомментариями;
позволяют готовить высококачественные и наглядные уроки не только по любым разделам математики, но и по многим дисциплинам, базирующимся на применении математического аппарата;
позволяют быстро размножить интересующие пользователя материалы;
обладают возможностью обновления и пополнения из сети Интернет.

Современные СКМ следует рассматривать не только как электронные справочники нового поколения, но и как системы для самообучения и дистанционного обучения математике. Однако для этого они должны быть снабжены грамотно составленными (прежде всего в методическом отношении) электронными уроками или книгами. Здесь необъятный простор для творчески мыслящих педагогов! В то же время, при отсутствии таких уроков применение математических систем может иметь негативные последствия для образования — опасна подмена обучения основам математики обучением основам работы с математическими системами.

Многие виды вычислений, даже элементарных, довольно трудоемки. Например, построение трехмерной поверхности требует зачастую сотен однообразных вычислений, выполнять которые крайне муторно даже при применении калькуляторов. Современные СКМ (в том числе Mathematica) делают это за считанные секунды, а то и за доли секунды. К тому же они сразу же строят графики поверхностей с разнообразной функциональной окраской и позволяют интерактивно вращать их (Mathematica 4), добиваясь лучшей выразительности и лучшего обзора фигур.

Применение СКМ в образовании избавляет учащихся от массы рутинных вычислений и высвобождает их время для обдумывания алгоритмов решения задач, более обоснованной постановки их решения, многовариантного подхода и представления результатов в наиболее наглядной форме. Высвободившееся время можно использовать для более глубокого изучения математической или физической сущности решаемых задач и их решения различными методами. Таким образом, СКМ не только не лишают учащихся серьезных математических навыков, но, напротив, способны их расширить и углубить.

Немаловажным фактором является то, что новейшие СКМ относятся к самым серьезным программным продуктам, имеющим современный пользовательский интерфейс и мощные средства визуализации всех этапов работы — причем, в области математики более выразительные, чем те, которые дают текстовые процессоры класса Word 95/97. Так что, работая с ними, пользователь поневоле осваивает работу с компьютером и познаёт тонкости интерфейса современных программ.

Кроме того, современные СКМ позволяют готовить и распечатывать документы, затрачивая на это куда меньше времени, чем популярные у математиков системы ТеХ или LaTeX. Впрочем, Mathematica прекрасно сожительствует с ними и позволяет представлять данные в необходимом для этих систем формате. Mathematica 4 поддерживает новейший формат подготовки математических документов для Интернета — MathML.

Работать с современными СКМ просто, приятно и поучительно. Благодаря этому освоение систем Mathematica воспринимается учащимися с большим интересом, что служит побудительным мотивом к их внедрению в систему образования, причем не только высшего, но и среднего, и даже начального (последнему, как отмечалось, фирма Wolfram в последние годы уделяет большое внимание).

Содержание раздела